Emlékeztető: vektorok

1. Szabad vektorok

2. Helyvektorok léteznek

3. Szabad vektorok előállíthatóak helyvektorok különbségeként (x és y koordináták különbsége)

4. Két vektor összege = koordináták összeadása

5. Szakasz felezőpontja: $F(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2})$

6. Szakasz osztópontja ($m_1, m_2$ arányban):

   $\vert\overrightarrow{P_1O}\vert:\vert\overrightarrow{OP_2}\vert=m_1:m_2$

   $O=(\dfrac{m_2x_1+m_1x_2}{x_1+x_2};\dfrac{m_2y_1+m_1y_2}{y_1+y_2})$

1. Helyvektor hossza: $\sqrt{x^2 + y^2}$

2. $\overline{AB}$ hossza = $\vert$$\underline{b} - \underline{a}$$\vert$ = $\sqrt{(x_b - x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$

3. Skaláris szorzás:

   1. $\underline a \circ \underline b = \vert \underline a \vert \cdot \vert \underline b \vert \cdot cos \gamma$
   2. $\underline a \circ\underline b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$
      1. Két vektor akkor merőleges, ha $\underline a \circ \underline b$ = 0 ($cos \gamma =0$)

4. Két vektor párhuzamossága, merőlegessége:

   1. Két vektor akkor párhuzamos, ha az egyik koordinátái n-szeresei a másik koordinátáinak, ahol $n\in R$.

      Tehát $\overrightarrow{v_1}(x;y) \parallel \overrightarrow{v_2}(nx;ny)$

5. Vektor forgatása: (x; y)

   1. +90°-kal (óramutató j.-val ellentétesen): (-y; x)
   2. -90°-kal (óramutató j.-val megegyezően): (y; -x)

Alakzat egyenlete

Def: Egy alakzat (egyenes, kör, parabola, ellipszis, hiperbola stb.) egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll, vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat bármely pontjának koordinátái kielégítenek és az alakzaton kívüli (az alakzathoz nem tartozó) pontok koordinátái pedig nem.

Egyenes egyenletei

Def.: Olyan elsőfokú, kétismeretlenes egyenlet, amelyben nem szerepel az xy szorzat.

$ax + by +c =0$

Normálvektoros egyenlet

1. Def.: Normálvektor: az egyenesre merőleges nem nullvektor.

2. Adott az egyenes egy $P_0(x_0;y_0)$ pontja, helyvektora $\overrightarrow{r_0}$, és adott az egyenes $\overrightarrow{n}(A;B)$normálvektora.

3. Az egyenes egy tetszőleges pontja $P(x;y)$. Ennek helyvektora$\overrightarrow{r}(x;y)$.

4. A P pont bármely helyzetében a $P_0$ pontból a P pontba mutató vektor egyenlő a pontok helyvektorainak különbségével:

   $P_0P=r-r_0 \implies P_0P(x-x_0;y-y_0)$

5. Mivel $P_0P$ merőleges $\overrightarrow{n}$ normálvektorra, így skaláris szorzatuk nulla:

   $\overrightarrow{n}\circ P_0P = 0 \implies \overrightarrow{n}\circ (r-r_0) = 0$

   $(n_1, n_2)\circ (x-x_0, y-y_0) = 0$

   $\Large n_1(x-x_0) + n_2(y-y_0) = 0$

   $n_1x-n_1x_0 + n_2y-n_2y_0 = 0$

   Tehát képlet: $\Large n_1x+n_2y=n_1x_0+n_2y_0$

Irányvektoros egyenlet