• Tartalom

1. Pontszerű test egyensúlya, fontos fogalmak

Def.(nyugalom): Nyugalomban lévő test

• Sebessége 0
• Gyorsulása nem feltétlen 0, pl: szabadesést végző test az elengedés pillanatában

Def.(egyensúly): Ha egy test egyensúlyban van, nem változik a mozgásállapota, tehát gyorsulása 0 és a rá ható erők eredője 0, vagyis ezek kiegyenlítik egymást.

Ez a pontszerű test egyensúlyának feltétele ($\sum F = 0$) .

Def. (tömegpont):

• Kiterjedése nincs, pontszerű → forgómozgásától eltekinthetünk
• Tömege van
• Rá jellemző mennyiségek: m, $\overrightarrow{a}$, helyvektor, $\overrightarrow{v}$

Def.(anyagi pont): ugyanez csak nincs tömege, hiszen kinematikában azt nem használtuk

2. Egyensúlyi helyzetek

3. Pontszerű testek egyensúlyi állapota

Stabilis/biztos EH:

1. A testet egyensúlyi helyzetéből kimozdítva tömegközéppontja emelkedik, tehát $E_{helyzeti}$ -ja nő.
2. Kimozdítás után a kezdeti pozíciójába visszatér az energiaminimum elve alapján, mely szerint minden rendszer arra törekszik, hogy stabilis állapotba kerüljön.
3. Forgástengely a súlypont felett

Labilis/bizonytalan EH:

1. A testet egyensúlyi helyzetéből kimozdítva tömegközéppontja süllyed,
2. a rá hatók eredője az egyensúlyi helyzetétől eltávolítja a testet
3. tehát $E_{helyzeti}$ -ja csökken, így az energiaminnimum elve alapján kijelenthető, hogy labilis helyzetben a test $E_{helyzeti}$ -ja lokális/kis környezetének maximumán van.
4. Forgástengely a súlypont alatt

Indifferens/közömbös EH:

1. A testet egyensúlyi helyzetéből kimozdítva tömegközéppontja egy síkban marad,
2. tehát $E_{helyzeti}$ -ja nem változik, bmely állásában megegyezik, így végig egyensúlyi helyzetben marad.
3. Forgástengely egybeesik a súlyponttal.

Merev test modellje:

Def. (pontszerű test): Olyan test, aminek

1. méretét
2. kiterjedését a mozgás szempontjából elhanyagolhatjuk.

Def. (kiterjedt test): Olyan test, amelynek a

1. mérete
2. alakja
3. tömegeloszlása nem hanyagolható el a mozgás szempontjából.

Def. (merev test): Egy test akkor merev test, ha a vizsgálata közben pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága nem (/elhanyagolható mértékben) változik.

VAGY/ÉS

Egy test akkor merev test, ha a rá ható erők hatására mérete, tömege, alakja, tömegeloszlása nem változik meg.

Def. (deformálható test): Nem merev test, tehát rá ható erők hatására mérete, tömege, alakja, tömegeloszlása megváltozik.

Def. (hatásvonal): Erővonallal párhuzamos egyenes ami átmegy a támadásponton.

Def. (Támadáspont): Pont, ahol az erő hat.

Def. (Erőkar): az erő hatásvonalának a vonatkoztatási pontól miért távolságát erőkarnak nevezzük.

Jele: k

Def. (forgatónyomaték): A forgatónyomaték az erő nagyságának és az erő karnak a szorzata. A ~ az erő forgató hatására jellemző mennyiség.

• Jele: M, mértékegysége Nm.
• Képlet: $M = F \cdot k$

Erők eredőjének összegzése

Ezek lehetnek:

• Nem párhuzamos hatásvonalú erők
• Párhuzamos hatásvonalú erők, azon belül:

1. megegyező irányúak, ekkor az eredő
   1. iránya megegyezik az erők irányával
   2. nagysága a kettő összege és
   3. a két erő között lesz a hatásvonala
   4. $F_1 \cdot k_1 = F_2 \cdot k_2$ az eredő hatásvonalának Bmely pontjára
2. ellentétes irányúak, ekkor az eredő
   1. iránya a nagyobbik erő iránya
   2. nagysága a két erő különbsége
   3. hatásvonala a két erő hatásvonalán kívül, a nagyobbikhoz közelebb helyezkedik el.
   4. $F_1 \cdot k_1 = F_2 \cdot k_2$ az eredő hatásvonalának Bmely pontjára
3. Erőpár
   1. Def. (erőpár): Az ugyanarra a testre ható két erőt amelyek
      1. ellentétes irányúak
      2. párhuzamos hatásvonalúak és
      3. egyenlő nagyságúak erőpárnak nevezzük.
   2. Az erőpár nem helyettesíthető egyetlen erővel! → NEM ÖSSZEGEZZÜK
   3. Erőpár M-ának nagysága NEM FÜGG a tengely helyétől
   4. Erőpárnál: $M_{eröpár} = F \cdot d$ , ahol d a két erő hatásvonalainak távolsága
   5. Példák: kocsi, bicikli kormányzása

Tömegközéppont

• Kiterjedt test tömegközéppontjának helye a testet felépítő pontok helyének tömegekkel súlyozott átlaga (illetve a részek tömegközéppontjainak tömegekkel súlyozott átlaga).
• Def. (tömegközéppont): A kiterjedt testek mozgása során a tömegüket egy pontban összegezzük, ezt a pontot a merev testtömeg középpontjának nevezzük.
• A tömegközéppont a merev testre ható nehézségi erő támadáspontja.
• TÉTEL: Homogén szimmetrikus merev testek esetén a tömegközéppont a test geometriai középpontjában helyezkedik el.

TKP meghatározása

• Két pontszerű testből álló rendszernél a tömegközéppontnak nevezzük azt a pontot, amely a két testet összekötő egyenes szakaszon van és távolsága az egyes testektől fordítottan arányos a testek tömegével.

• Jele: TKP vagy S (mint súlypont, de nem túl nagy testnél a kettő ekvivalens)
• Három pontszerű testnél kettő TKP-ját kiszámoljuk, majd azt a 3.-kal összevetjük a fentiek alapján. Így Bmely n pontból álló pontrendszer TKP-ját kiszámolhatjuk.
• Tehát: $\Large{\overrightarrow{r} = \frac{\sum m_i \cdot \overrightarrow{r_i}}{\sum m_i}}$, ahol r a TP (tömegpont) helyvektora, $r_i$ pedig az i. TP helyvektora.

Példa

Súlypont meghatározása

Def. (súlypont): A súlypont az a pont ami alatt úgy alátámaszthatjuk a testet, hogy az egyensúlyban legyen.

TÉTEL: Az alátámasztás helyére az eredő forgatónyomatéknak nullának kell lennie.

A legtöbb esetben a súlypont és a tömegközéppont helye ugyanott van, és a kettő közül bármelyik használható. Különbség a két pont helye között csak akkor van, ha a test mérete olyan nagy, hogy a gravitáció nem tekinthető a test minden pontjára ugyanolyan erősségűnek

TKP tételei

1. Pontrendszer TKP-ja két test esetén az azokat összekötő szakaszon van, helye pedig a tömegekkel fordítottan arányos (lásd fentebb).

2. TKP tétele: $\sum \overrightarrow{F} = m_p \cdot \overrightarrow{a}_{TKP}$

   Tehát: A pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer összes tömege a tömegközéppontban lenne elhelyezve és a külső erők eredője erre a pontra hatna. Belső erők nem változtatják meg a pontrendszer tömegközéppontjának mozgásállapotát.

   Pl.: A felrobbanó tűzijáték darabkáinak TKP-ja ugyanaz és ugyanúgy halad, mintha fel sem robbant volna és annak a tűzijátéknak tekintenék a TKP-ját, hiszen a robbanást belső erők idézték elő, a TKP mozgását nem befolyásolják.

3. TKP megmaradásának tétele:

   1. Def. (zárt rendszer): Zárt rendszerről beszélünk, ha egy pontrendszerre nem hatnak külső erők, vagy ezek eredője zérus.
   2. Ekkor $\sum F = 0 \implies a_{TKP}= 0$ $\implies v=állandó$
   3. Tehát: Zárt rendszer TKP-ja egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van.
   4. Pl.: Folyón úszó csónakon ha a csónak egyik végéből a másikba megyünk.

Merev test egyensúlyának feltétele

Def. (statika): A statika feladata annak vizsgálata, hogy milyen feltételek mellett vannak a testek egyensúlyban.

A merev test egyensúlyi állapota fennáll, ha a test:

Merev test egyensúlyának ,,főtételei”

1. $\sum \overrightarrow F = 0$
2. $\sum \overrightarrow M= 0$

Egy merev test akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők eredője nulla, és a merev test bármely pontjára nézve a rá ható erők forgatónyomatékainak előjeles összege is nulla.

Feladatmegoldások

1. Híd típusú:
2. Rúd típusú (3 erőre)

Egyszerű gépek

Az egyszerű gépek olyan eszközök, amelyek: • megváltoztatják az erő irányát • megsokszorozzák az általunk kifejtett erőt.

Csoportosítás: