Emlékeztető: Def.: Haladó mozgásnál egy test minden pontja azonosan mozog, tehát párhuzamos eltolásról beszélhetünk.
Emlékeztető: Def.: Merev test: Egy test akkor merev test, ha a vizsgálata közben pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága nem (/elhanyagolható mértékben) változik.
A merev test minden anyagi pontnak tekinthető része körpályán mozog, amelynek
Innen adódik:
A körmozgás kétféleképp is értelmezhető: haladó mozgásként (mert az anyagi pont - rajta átmenő tengelyen történő - forgásának, pörgésének nincs értelme $\implies$lehet eltolásként értelmezni) és forgómozgásként is.
A körmozgás egyenletes $\iff$azonos időintervallumok alatt azonos íveket fut be $\implies$sebessége állandó!
A körmozgást végző anyagi pont egyenlő idő alatt jár be egy-egy teljes kört $\implies$a körmozgás periodikus
És mivel egyenletes$\implies$keringési ideje & fordulatszáma állandó
Def.: (kerületi sebesség): Egy (kör kerületén) körmozgást végző anyagi pont pillanatnyi sebessége. Jele: $\overrightarrow{v_k}$
Elv: Mivel haladó mozgásként értelmezzük a körmozgást $\implies$EVE mozgáshoz hasonlóan számolunk, tehát $\large{v = \frac {\Delta s}{\Delta t}}$, ahol
ÍGY: $\boxed {\large {v_k= \frac {2r\pi \space}{T}}}$ , és mivel $\boxed {{ n(f)= { \frac{1}{T}}}}$, ezért $\boxed {\large v_k={2r\pi n}}$
$\implies$Iránya folyamatosan változik
$\implies$Az egyenletes körmozgás változó mozgás, annak ellenére hogy $v_k$ állandó
A pillanatnyi sebességvektor iránya folyamatosan változik
Emlékeztető: Ha egy test sebességének nagysága/iránya változik $\implies$van gyorsulása
A gyorsulásvektornak két jellemzője van:
Tétel: Egyenletes körmozgás gyorsulásvektora a kör középpontja felé mutat.
Def. (centripetális gyorsulás): Egyenletes körmozgás gyorsulásának centripetális (kp.-ba mutató) gyorsulás a neve.
$P_1, P_2,O$ és az ABC háromszögek egyenlő szárúak, és a száraik által bezárt szögek is megegyeznek, valamint $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert$ = AB.
Ha $\Delta \Phi$ ~ 0 $\implies$ $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert$ ~ AB ívvel (!), viszont fenti képlet alapján AB ív = $\Delta \Phi (rad) \cdotp v$$\implies$
$\boxed{\large {\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\Delta \Phi(rad) \cdotp v}}$
Tudjuk, hogy a $P_1, P_2,O$ háromszögben $\large {\Delta \Phi(rad) = \frac {\Delta s}{r}}$, ezt visszahelyettesítve az előző képletbe:
$\boxed{\large {\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\frac {\Delta s}{r} \cdotp v}}$
https://lucid.app/lucidspark/cb0e6a31-f451-444c-ba02-0d4cae8f46fd/edit?viewport_loc=-699%2C-222%2C3729%2C1716%2C0_0&invitationId=inv_a82cffb7-11fd-469c-b8ee-4a0a4898168a
$$ a = \frac{\rvert \overrightarrow{\Delta v \rvert}}{\Delta t} = \large{\frac{\frac {\Delta s}{r} \cdotp v }{\Delta t}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r} = \boxed{\frac{v^2}{r}} $$
$\hookrightarrow$ Hiszen mivel a mozgás egyenletes, $\large \frac {\Delta s}{\Delta t}$= v
$\hookrightarrow$ Valamint ahogy $\Delta t$ közelít a 0-hoz, úgy $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\Delta \Phi(rad) \cdotp v$ egyre jobb közelítés, ezért az átlaggyorsulások sorozata tart a $\Large \frac{v^2}{r}$ pillanatnyi gyorsuláshoz.
Emlékeztető: Mitől függ a körmozgás kerületi sebessége?
Egy forgó merev test nem azonos köríven lévő pontjairól beláthatjuk, hogy kerületi sebességük nem azonos, hiszen T-ük azonos, r-uk nem $\implies$kerületi sebességük eltér (lásd: Emlékeztető) $\implies$
Forgómozgás jellemzése szögsebességgel$\impliedby$ minden forgómozgást végző merev test minden azonos sugáron lévő pontja azonos idő alatt azonos szöggel fordul $\implies$szögelfordulás
Def. (szögelfordulás): rögzített tengelyen forgó merev test mozgása, vagy körmozgást végző anyagi pont szögelfordulással jellemezhető, hiszen bármely pontjához tartozó sugár ugyanakkora szöggel fordul el.
Jele: $\Delta \Phi$
Így mikor egyenletes a forgómozgás?
Két test közül annak a nagyobb a szögelfordulása, amelyiknek…
Forgómozgás (és így körmozgás) jellemzéséhez tehát tudnunk kell a $\Delta \Phi$ és az eltelt idő mértékét.
Példa: lemezjátszós kísérlet
Def. (szögsebesség): egyenletes forgómozgásnál a kettő arányos: $\large {\frac{\Delta \Phi (rad)}{\Delta t}}$= állandó = szögsebesség; jele: $\large \omega$ ; mértékegysége: $\Large \frac{1}{s}$ $\implies$
$\boxed {\large \omega = \frac{\Delta \Phi (rad)}{\Delta t}}$, egész periódusra: $\boxed{\large \omega = \frac{2\pi}{T}}$
Fizikai mennyiségek: $\Delta s (=i), \Delta t, v_k, a_{cp}$
$\Delta s = v \cdot \Delta t$
$v= \frac {\Delta s}{\Delta t}$
$v_k= \frac {2r\pi \space}{T}$
$a = \frac{v^2}{r}$
Fizika mennyiségek: ΔΦ(rad), ω, r
$\Delta \Phi = \frac{i}{r}$
$\omega = \frac{\Delta \Phi (rad)}{\Delta t}$
$$ \large{s = i = r \cdot \Delta \Phi(rad) \space =r \cdot \omega \cdot t} \newline \boxed{v_k=r \cdot \omega} $$
$$ \large a_{cp} = \frac{v_k^2}{r} = \frac{(r\cdot \omega)^2}{r}= r \cdot \omega ^2 = v_k \cdot \omega $$
Newton II. törvénye: $F = m\cdot a$
A körmozgás sebességének iránya változik $\implies$ gyorsuló munkát végez $\implies$ gyorsulást erő hozza létre, amelynek fenntartásához erő kell.
Def. (E.K. létrejöttének dinamikai feltétele; centripetális erő): A testre ható erők eredője a kör kp-ja felé kell, hogy mutasson, nagysága pedig állandó kell legyen. Ez az erő a centripetális erő.
Jele: $\overrightarrow{F_{cp}}$
Képlet: $\boxed{\large \overrightarrow{F_{cp}} = m \cdot a_{cp}} = \large {m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot v \cdot \omega = m \cdot r \cdot \omega^2}$
(= r sugarú pályán mozgó m tömegű pontszerű testre ható erők eredője)
<aside> <img src="https://prod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com/ead7a518-9f77-4a8b-8482-8e8571578f91/05052f3b-abd5-4c12-917c-ff890992469c/auchtung.gif" alt="https://prod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com/ead7a518-9f77-4a8b-8482-8e8571578f91/05052f3b-abd5-4c12-917c-ff890992469c/auchtung.gif" width="40px" /> ACHTUNG! A centripetális erő nem kölcsönhatásból származó erő! Valójában ,,csak egy elnevezés”, nem önálló erő, hanem a körmozgást végző testre ható erők eredője: $\sum \overrightarrow{F} \equiv \overrightarrow{F}_{cp}$**
</aside>
Példák:
Emlékeztető: egyenletes mozgás = állandó $v_k$ , állandó $\omega$
Def.(egyenletesen változó körmozgás): Egy körpályán mozgó test egyenletesen változó körmozgást végez, ha bármekkora idők alatt kerületi sebessége változásának nagysága megegyezik. (a $\Delta v$-k egyenlők)
Ekkor: ha $v_0 = 0$, akkor $v_k$~t $\implies$hányadosuk állandó, stb.
Def.(tangenciális gyorsulás): ha körmozgást végző test érintőirányú sebessége állandóan növekszik, akkor nem csak (arra merőleges) centripetális, hanem vele egyirányú, érintőirányú, tangenciális gyorsulása is lesz. Jele: $a_t$, vektormennyiség (kör érintőjének irányába mutat)
Képlet: $\boxed{\large{a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t}} = \frac{r\cdot \Delta\omega}{\Delta t} = r \cdot \beta}$
$\implies$ E. V. K.-nál a tangenciális gyorsulás a szöggyorsulás és a sugár szorzatának (példa: teljesítménymérő fékpad) és az idő; vagy a kerületi sebesség és az idő hányadosa
$\implies$ E. V. K.-nál centripetális és tangenciális gyorsulás is van.
Centripetális gyorsulás: $v_k$ irányából adódik
