• Tartalom

Periodikus mozgás

Példák:

1. Ingaóra sétálója
2. Rugóra felfüggesztett test
3. Föld keringése

Jellemző mennyiségek:

1. Def.(Periódusidő): Az az idő ami alatt egyszer teljesen megismétlődik a mozgásszakasz
   • Jele: T; Me.: [s] (szekundum)
2. Frekvencia: Az egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődések (periódusok) számát frekvenciának nevezzük.
   • Jele: f ; Mértékegysége: $\Large \lbrack \frac {1}{s} \rbrack$ = 1 $\textrm{\lbrack Hz\rbrack}$ (hertz); $\Large \lbrack \frac {1}{min} \rbrack$
   • A frekvencia kiszámítható a megtett ismétlődések számának (Z) és a közben eltelt idő hányadosaként: $\boxed {\large f= \frac {Z} {\Delta t}}$
   • Def.: periodikus mozgás: Azt a mozgást, amelyben a test ugyanazt a mozgásszakaszt
     1. folyamatosan
     2. változás nélkül ismétli, periodikus mozgásnak nevezzük.
   • Ebből adódik, hogy ha Z= 1, akkor a frekvencia megadható a periódusidő reciprokaként: $\boxed {\large f= \frac {1} {T}}$

Definíció forgómozgásból

Emlékeztető: Def.: Haladó mozgásnál egy test minden pontja azonosan mozog, tehát párhuzamos eltolásról beszélhetünk.

Emlékeztető: Def.: Merev test: Egy test akkor merev test, ha a vizsgálata közben pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága nem (/elhanyagolható mértékben) változik.

• Legegyszerűbb esete: merev test rögzített tengely körül forog

  • A merev test minden anyagi pontnak tekinthető része körpályán mozog, amelynek

    • síkja merőleges a forgástengelyre
    • középpontja a tengely egy-egy pontja
    • sugarai hosszban eltérhetnek

  • Innen adódik:

• Def.: körmozgás: A forgómozgás azon sajátos változatát, amikor a test egy anyagi pont $\implies$csak egy körpályánk van körmozgásnak nevezzük.

A körmozgás kétféleképp is értelmezhető: haladó mozgásként (mert az anyagi pont - rajta átmenő tengelyen történő - forgásának, pörgésének nincs értelme $\implies$lehet eltolásként értelmezni) és forgómozgásként is.

Egyenletes körmozgás haladó mozgásként való értelmezése

A körmozgás egyenletes $\iff$azonos időintervallumok alatt azonos íveket fut be $\implies$sebessége állandó!

A körmozgást végző anyagi pont egyenlő idő alatt jár be egy-egy teljes kört $\implies$a körmozgás periodikus

1. $\rArr$ Periódusideje van; itt: keringési idő; jele: T
2. $\rArr$ Frekvenciája van; itt: fordulatszám; jele f vagy n

És mivel egyenletes$\implies$keringési ideje & fordulatszáma állandó

Def.: (kerületi sebesség): Egy (kör kerületén) körmozgást végző anyagi pont pillanatnyi sebessége. Jele: $\overrightarrow{v_k}$

Kerületi sebesség nagyságának kiszámítása:

• Elv: Mivel haladó mozgásként értelmezzük a körmozgást $\implies$EVE mozgáshoz hasonlóan számolunk, tehát $\large{v = \frac {\Delta s}{\Delta t}}$, ahol

  • ${\Delta s=2r\pi \space}$ (a kör kerülete)
  • $\Delta t = T$ (periódusidő)

  ÍGY: $\boxed {\large {v_k= \frac {2r\pi \space}{T}}}$ , és mivel $\boxed {{ n(f)= { \frac{1}{T}}}}$, ezért $\boxed {\large v_k={2r\pi n}}$

Kerületi sebesség irányának kiszámítása:

• Sejtés a való életből:
  • Kalapácsvető $\to$ kalapács útja
  • Köszörülés közben leváló izzó részecskék útja
• Pillanatnyi sebességvektor iránya mindig a pálya érintőjének irányába esik, irányítása: a mozgással megegyező irányítású.

$\implies$Iránya folyamatosan változik

$\implies$Az egyenletes körmozgás változó mozgás, annak ellenére hogy $v_k$ állandó

• Tehát az egyenletes körmozgás változó mozgás. Ez nem ellentmondás?

A pillanatnyi sebességvektor iránya folyamatosan változik

Egyenletes körmozgás gyorsulása

Emlékeztető: Ha egy test sebességének nagysága/iránya változik $\implies$van gyorsulása

A gyorsulásvektornak két jellemzője van:

1. Iránya
2. Nagysága

A gyorsulásvektor iránya:

Tétel: Egyenletes körmozgás gyorsulásvektora a kör középpontja felé mutat.

Def. (centripetális gyorsulás): Egyenletes körmozgás gyorsulásának centripetális (kp.-ba mutató) gyorsulás a neve.

Bizonyítás I. (szöveges)

Bizonyítás II. (matematikai)

A gyorsulásvektor nagysága:

1. $P_1, P_2,O$ és az ABC háromszögek egyenlő szárúak, és a száraik által bezárt szögek is megegyeznek, valamint $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert$ = AB.

2. Ha $\Delta \Phi$ ~ 0 $\implies$ $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert$ ~ AB ívvel (!), viszont fenti képlet alapján AB ív = $\Delta \Phi (rad) \cdotp v$$\implies$

   $\boxed{\large {\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\Delta \Phi(rad) \cdotp v}}$

3. Tudjuk, hogy a $P_1, P_2,O$ háromszögben $\large {\Delta \Phi(rad) = \frac {\Delta s}{r}}$, ezt visszahelyettesítve az előző képletbe:

   $\boxed{\large {\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\frac {\Delta s}{r} \cdotp v}}$

https://lucid.app/lucidspark/cb0e6a31-f451-444c-ba02-0d4cae8f46fd/edit?viewport_loc=-699%2C-222%2C3729%2C1716%2C0_0&invitationId=inv_a82cffb7-11fd-469c-b8ee-4a0a4898168a

1. Mindezekből következik, hogy az átlaggyorsulás:

$$ a = \frac{\rvert \overrightarrow{\Delta v \rvert}}{\Delta t} = \large{\frac{\frac {\Delta s}{r} \cdotp v }{\Delta t}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r} = \boxed{\frac{v^2}{r}} $$

$\hookrightarrow$ Hiszen mivel a mozgás egyenletes, $\large \frac {\Delta s}{\Delta t}$= v

$\hookrightarrow$ Valamint ahogy $\Delta t$ közelít a 0-hoz, úgy $\rvert \overrightarrow{\Delta v} \rvert \approx\Delta \Phi(rad) \cdotp v$ egyre jobb közelítés, ezért az átlaggyorsulások sorozata tart a $\Large \frac{v^2}{r}$ pillanatnyi gyorsuláshoz.

Körmozgás és forgómozgás szögjellemzői

• Emlékeztető: Mitől függ a körmozgás kerületi sebessége?
• Egy forgó merev test nem azonos köríven lévő pontjairól beláthatjuk, hogy kerületi sebességük nem azonos, hiszen T-ük azonos, r-uk nem $\implies$kerületi sebességük eltér (lásd: Emlékeztető) $\implies$
• Forgómozgás jellemzése szögsebességgel$\impliedby$ minden forgómozgást végző merev test minden azonos sugáron lévő pontja azonos idő alatt azonos szöggel fordul $\implies$szögelfordulás
• Def. (szögelfordulás): rögzített tengelyen forgó merev test mozgása, vagy körmozgást végző anyagi pont szögelfordulással jellemezhető, hiszen bármely pontjához tartozó sugár ugyanakkora szöggel fordul el.
• Így mikor egyenletes a forgómozgás?
• Két test közül annak a nagyobb a szögelfordulása, amelyiknek…
• Forgómozgás (és így körmozgás) jellemzéséhez tehát tudnunk kell a $\Delta \Phi$ és az eltelt idő mértékét.

Összefüggések közti kapcsolatok: